Азимов родился (по документам) 2 января 1920 года в местечке Петровичи Мстиславльского уезда Могилёвской губернии, Белоруссия (с 1929 года и поныне Шумячском районе Смоленской области России) в еврейской семье. Его родители, Хана-Рахиль Исааковна Берман (Anna Rachel Berman-Asimov, 1895—1973) и Юда Аронович Азимов (Judah Asimov, 1896—1969), были мельниками по профессии. Назвали его в честь покойного деда по матери, Исаака Бермана (1850—1901). Вопреки поздним утверждениям Айзека Азимова, будто первоначальной семейной фамилией была «Озимов», все оставшиеся в СССР родственники носят фамилию «Азимов».

Как сам Азимов указывает в автобиографиях («In Memory Yet Green», «It’s Been A Good Life»), его родным и единственным языком в детстве был идиш; по-русски с ним в семье не говорили. Из художественной же литературы в ранние годы oн рос в основном на рассказах Шолом-Алейхема. В 1923 родители увезли его в США («в чемодане», как он сам выражался), где поселились в Бруклине и через несколько лет открыли кондитерский магазин.

В 5 лет Айзек Азимов пошёл в школу. (Ему полагалось пойти в школу в 6 лет, но мать исправила его день рождения на 7 сентября 1919 года, чтобы отдать его в школу на год раньше.) После окончания десятого класса в 1935 году, 15-летний Азимов поступил в Seth Low Junior College, но через год этот колледж закрылся. Азимов поступил на химический факультет Колумбийского университета в Нью-Йорке, где получил в 1939 году степень бакалавра (B. S.), а в 1941 году — магистра (M. Sc.) по химии и поступил в аспирантуру. Однако в 1942 году он уехал в Филадельфию, чтобы работать химиком на Филадельфийской судоверфи для армии. Вместе с ним там же работал и другой писатель-фантаст Роберт Хайнлайн.

В феврале 1942 года, в Валентинов день, Азимов встретился на «свидании вслепую» с Гертруд Блюгерман (англ. Gerthrude Blugerman). 26 июля они поженились. От этого брака родился сын Дэйвид (англ. David) (1951) и дочь Робин Джоэн (англ. Robyn Joan) (1955).

С октября 1945 года по июль 1946 Азимов служил в армии. Затем вернулся в Нью-Йорк и продолжил образование. В 1948 году закончил аспирантуру, получил степень PhD, и поступил в постдокторат как биохимик. В 1949 году он устроился преподавателем на медицинский факультет Бостонского Университета, где в декабре 1951 года стал ассистентом (англ. assistant professor), а в 1955 году — ассоциированным профессором (англ. associate professor). В 1958 году университет перестал ему платить зарплату, но формально оставил в прежней должности. К этому моменту доходы Азимова как писателя уже превышали его университетскую зарплату. В 1979 году ему было присвоено звание полного профессора (англ. full professor).

В 1970 году Азимов расстался с женой и почти немедленно стал жить с Джэнет Опал Джеппсон (англ. Janet Opal Jeppson), с которой познакомился на банкете 1 мая 1959 года. (До этого они встречались в 1956 году, когда он дал ей автограф. Азимов вообще не запомнил ту встречу, а Джеппсон сочла его неприятным человеком.) Развод вступил в силу 16 ноября 1973 года, а 30 ноября Азимов и Джеппсон поженились. От этого брака не было детей.

Умер 6 апреля 1992 года от сердечной и почечной недостаточности на фоне СПИДа, которым заразился при операции на сердце в 1983.[9]